Библиотека ДИССЕРТАЦИЙ
Главная страница Каталог

Новые диссертации Авторефераты
Книги
Статьи
О сайте
Авторские права
О защите
Для авторов
Бюллетень ВАК
Аспирантам
Новости
Поиск
Объявления
Конференции
Полезные ссылки

Введите слово для поиска

Виноградова Елизавета Павловна.
Комбинаторные задачи в системе развивающего обучения четырехлетней начальной школы

Московский государственный открытый педагогический университет им. М.А. Шолохова

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика)

Диссертация
на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель - доктор педагогических наук, профессор Истомина Н.Б.

Москва - 2003

Содержание диссертации

Введение

Глава 1. Различные подходы к трактовке понятия "Задача"
1.1. Психолого-педагогическая характеристика понятия «задача»
1.2. Понятие «задача» в начальном курсе математики
1.3. Виды комбинаторных задач и способы их решения

Глава 2. Образовательные функции комбинаторных задач
2.1. Опыт включения комбинаторных задач в школьный курс математики
2.2. Комбинаторные задачи как средство развития мышления школьников

Глава 3. Система комбинаторных задач в развивающем курсе математики
3.1. Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач
3.2. Взаимосвязь комбинаторных задач с программным содержанием начального курса математики
3.3. Организация и проведение эксперимента

Заключение
Литература
Приложения

Глава 2. Образовательные функции комбинаторных задач

2.1. Опыт включения комбинаторных задач в школьный курс математики

Проблема включения комбинаторных задач в школьный курс математики стала предметом дискуссий с середины 60-х годов прошлого столетия. Это обусловливалось тем, что на смену концепции строгого детерминизма в различных областях научного знания пришли закономерности случайных явлений.

В связи с этим получили новую трактовку различные законы физики, астрономии, химии, биологии, и т.д.

Современное естествознание исходит из представления, согласно которому все явления природы носят статистический характер и ее законы могут получить достаточно полную и точную формулировку только в терминах теории вероятностей.

Звездная астрономия, исследования распределения материи в пространстве, распределении во времени и на поверхности Солнца солнечных пятен (центров солнечной активности) и многое другое нуждается в систематическом использовании статистических представлений и разнообразного математического аппарата теории вероятностей.

Еще со времен А. Кетли биологи заметили, что разброс размеров органов живых существ одного и того же вида прекрасно укладывается в общие теорико-вероятностные закономерности. Знаменитые законы Менделя, положившие начало современной генетике, требуют для своего осмысливания теорико-вероятностных рассуждений. Попытки игнорирования этих представлений приводили к искажению природы и отказу от естественного и правильного объяснения результатов опытов.

Изучение таких значительных проблем биологии, как передача возбуждения, устройство памяти, передача наследственных свойств, вопросы расселения животных на территории, взаимоотношения хищника и жертвы, определение корреляционных связей между различными величинами, определение нормы и многое другое, требует применения законов математической статистики.

Понимание природы химических реакций, динамического равновесия невозможно без статистических и вероятностных представлений. Почти вся физическая химия, ее математический аппарат исходит не из феноменологических представлений о материи как сплошной среде, а из ее молекулярного, атомного и субатомного строения.

В последнее время статистические методы исследования все более привлекаются к историческим исследованиям, особенно в археологии. Выяснение национальных принадлежностей этих захоронений уже проводится с привлечением статистических методов.

Статистический подход давно используется и для расшифровки надписей на давно умерших языках. Идеи, руководившие Ж Шампольоном при его расшифровке иероглифических текстов, являются в своей основе статистическими. Этот же подход сохраняется и теперь, когда приступают к изучению текстов народов майя и других еще не расшифрованных письмен. Искусство шифрования записей и их дешифровки также основано на использовании статистических закономерностей языка.

Учет статистических закономерностей необходим и при изучении повторяемости слов и букв, распределении ударений в словах, вычислении информативности языка конкретных писателей и поэтов.

Экономика также не остается в стороне от глубоких и всесторонних статистических исследований. Вопросы перспективного планирования производства самым непосредственным образом связаны со случайными изменениями массового спроса. Для того чтобы эти изменения предусмотреть, нужно научиться на опыте прошлого, предвидеть будущее. Чтобы выяснить, как увеличить доходы государства и одновременно поднять жизненный уровень граждан, необходимо тщательно проанализировать огромный статистический материал и из него сделать правильные выводы.

В связи с вышесказанным, формирование представлений о статистических концепциях является одной из задач общего образования.

Анализ зарубежного опыта свидетельствует о том, что эта задача может успешно решаться [1,2,3,4].

Так, во французских школах большое значение уделяется изучению теории вероятностей и статистики, которая не содержит ни формальной теории, ни технически сложных задач. Все понятия в этом курсе вводятся естественным образом при рассмотрении соответствующих примеров из реальной жизни, а не с помощью формальных определений, т.е. преподавание ведется на доступном ученику уровне.

В середине семидесятых годов в программное содержание младшей ступени средних школ Японии, наряду с разделами «Числа и алгебраические выражения», «Функции», «Геометрические фигуры», был включен раздел «Вероятность и статистика».

В процессе изучения данного раздела японские школьники учатся целенаправленно собирать данные, располагать их в виде таблиц, чтобы усмотреть закономерность в их поведении (частота распределений по гистограмме, относительная частота и выборочная функция распределения: смысл среднего значения и разброса случайной величины). Затем вводится понятие вероятности как относительной частоты, полученной в результате большого числа наблюдений и проб.

Производится подсчет вероятностей в простейших случаях. Для иллюстрации рассматриваемых понятий используются ветвистые графы («деревья»).

В американских школах в содержательную часть стандарта (1989г.) начальной школы (I-IV классы) включен раздел «Элементарные основы статистики и вероятностей»; средней ступени (V-VIII классы) - «Статистика и вероятность», старшей школы (IX-XII классы) - «Статистика. Вероятность. Дискретная математика».

Попытки включения элементов комбинаторики и теории вероятностей в школьный курс математики были и в Российской общеобразовательной школе. Целесообразность их введения в школьный курс математики неоднократно отмечалась в работах С.Н. Бернштейна, А.Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина, Б.В. Гнеденко. В качестве обоснования выступала «... необходимость систематического развития у учащихся идеи наличия в природе закономерностей более широкой природы, чем строгий классический детерминизм, а именно статистических закономерностей» [47 с.12].

В 1967 году в факультативный курс X класса были включены следующие вопросы:
1. Начала комбинаторики и вычисление вероятностей при помощи подсчета числа благоприятствующих случаев.
2. Операции над событиями, теорема сложения вероятностей, условные вероятности и независимость событий.
3. Независимые повторные испытания с постоянной вероятностью, теорема Бернулли (без доказательства), заключительная беседа о различных областях науки и практической деятельности.
4. Математическое ожидание. Дисперсия и закон больших чисел (доказательство в форме теоремы Чебышева).

При этом академик А.Н. Колмогоров, возглавлявший комиссию по разработке программы, высказал надежду, что «этот материал в значительной своей части в будущем войдет в основной школьный курс математики. Желательно, чтобы при ведении факультативных занятий в школах выработалась определенная традиция его изложения, которая потом могла бы быть перенесена на работу со всеми учащимися» [9 с. 14].

Возможность включения элементов комбинаторики и теории вероятностей в школьный курс математики нашла отражение в целом ряде диссертационных исследований 70-80 годов прошлого века [19,21,41,55,81,150,178].

Выделению сквозной вероятностно-комбинаторной линии в школьном курсе математики посвящены исследования Л.М. Кабековой, А.Я. Дограшвили, З.П. Самигулиной, Л.Бычковой. В работах данных авторов приводятся аргументы в пользу совместного изучения элементов комбинаторики и теории вероятностей, связанных как обособленностью элементов комбинаторики от других тем, так и особенностью их содержания. В связи с этим, на усвоение комбинаторики тратится много времени, что не позволяет глубоко изучить вопросы теории.

По мнению Л.М.Кабековой, изучение элементов комбинаторики внутри раздела «Элементы теории вероятностей» позволит отказаться от решения искусственных задач по комбинаторике и тем самым сэкономить время для более глубокого курса теории вероятностей. Этот путь дает возможность комбинаторику - самостоятельную область математики со своими задачами и со своими методами - рассматривать как составную часть теории вероятностей с вероятностными выводами основных формул. При этом учащиеся знакомятся и с комбинаторными методами.

Особый интерес с точки зрения проводимого исследования представляет работа А.Я. Дограшвили, посвященная формированию у учащихся восьмилетней школы умений и навыков решения комбинаторных задач.

Предложенная автором система комбинаторных и вероятностных понятий предусматривает ознакомление учащихся со следующими вопросами: сочетания, число сочетаний, упорядоченная пара, размещения, перестановки; опыт, его исходы, равновозможность исходов; случайное событие, благоприятствующие ему исходы опыта; вероятность события, невозможные и достоверные события; среднее арифметическое; геометрические вероятности.

Анализ программного содержания школьного курса математики позволил автору сделать вывод, что задачи вероятностного и комбинаторного характера разбросаны по всему курсу математики восьмилетней школы и не приведены в систему.

В исследовании предпринята попытка привести задачи комбинаторного и вероятностного характера к определенному единству по классам и создать определенную систему задач указанного типа соответствующую действующей в то время программе по математике. Основу этой системы составляют этапы, учитывающие, прежде всего возрастные особенности учащихся.

Автор полагает, что в классах уровень знания учащихся в указанном направлении определяется тем, что не превышает их сферу чувств.

В старших же классах от учеников требуется уже логическое мышление, которое опирается на метод неполной индукции: ученики высказывают гипотезы, а затем производят их проверку.

Изучение понятий комбинаторики и теории вероятностей в четвертом классе согласовано с изучением множеств, при этом процесс делится на два этапа. На первом рассматривается одно множество, содержащее небольшое число элементов, устанавливается связь между количеством элементов и количеством выделенных пар.

На втором этапе рассматриваются два разных множества, содержащие малое число элементов, и составленные из них всевозможные пары. Это обеспечивает усвоение учащимися понятия декартова произведения.

В четвертом и пятом классах учащиеся уже решают комбинаторно-вероятностные задачи, используя предложенные правила, закрепляют знания пройденного материала по вопросам: множества, часть и дроби, их свойства, отрезок, луч, ломаная и т. д.

В шестом классе ученики пользуются для решения комбинаторных задач уже известными им правилами. Задачи, требующие применения общих формул, автор предлагает включить в 7-8 классы.

С методической точки зрения представляет интерес сам процесс решения комбинаторных задач, который автор представляет следующими этапами:
1. Изучение условия задачи. Здесь прежде всего, необходимо четко выявить, что является элементами рассматриваемого множества. Особое внимание при решении комбинаторных задач обращается на то, существен или нет порядок расположения элементов.

2. Вычисления. На этом этапе проводится требуемый расчет: либо посредством систематического перебора, либо с применением рассмотренных выше правил подсчета.

3. Представление решения задачи. На этом этапе требуется представить итоговый результат в наглядной форме и объяснить его смысл. В некоторых случаях на этом этапе возможна постановка вопроса о практическом применении полученного математического результата.

В диссертациях В.Ф. Волгиной и Л.Ю. Березиной обосновывается целесообразность использования графовых моделей при решении комбинаторных задач.

Представляет интерес исследование А.П. Шиховой «Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе» [178].

Предлагая изучать комбинаторику в IX классе, автор отмечает необходимость подготовительной работы в предшествующих классах, т.к. локальное изучение темы приводит к нарушению разумного соотношения между развивающим и формально-алгоритмическим аспектами изучения комбинаторики и учащиеся, ранее не встречавшиеся с комбинаторными задачами, не успевают за короткое время овладеть комбинаторным стилем мышления.

По мнению автора, формальное усвоение комбинаторики в старших классах обусловлено тем, что в методике недостаточно разработаны вопросы, связанные с систематическим целенаправленным формированием комбинаторных представлений учащихся основной школы. Решение этой проблемы автор видит во включении в курс 8-ей школы бесформульной комбинаторики.

Заслуживают внимания требования к системе комбинаторных задач, которые предлагает автор.

1. Использование при решении комбинаторных задач различных методов (хаотичный перебор, системный перебор, построение таблиц, графов, «дерева» решений).

2. Согласование комбинаторных задач с изучаемым материалом.

3. Установление связей между комбинаторными понятиями.

4. Установление связей комбинаторики с другими учебными дисциплинами.

5. Организация систем задач, допускающая индивидуальное обучение.

Несмотря на большое количество исследований, связанных с разработкой раздела «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», его включение в школьный курс математики, для массовой школы он остался не востребованным.

Предлагаемые экспериментальные программы использовались либо в классах с углубленным изучением математики, либо как факультатив Новый этап исследований, связанный с возможностью включения комбинаторных и вероятностных задач в программу отечественной общеобразовательной школы, относится к последнему десятилетию прошлого века [18,108].

Начиная с 1990 года появляется ряд работ, в которых комбинаторные задачи рассматриваются как средство развития мышления учащихся.

К числу таких работ относится диссертация О.С. Медведевой, предметом исследования которой стало влияние комбинаторных задач на развитие мышления учащихся 5-6 классов.

Автор вводит понятие комбинаторного стиля мышления, существенной чертой которого является гибкость, вариативность и критичность.

На примере конкретных комбинаторных задач показывается, что процесс их решения создает благоприятные условия для формирования умения рассуждать, использовать разнообразные методы, направленные на поиск различных решений задачи; представляет возможности для обучения школьников двум основным этапам моделирования — выбору оптимальной математической модели и внутримодельному решению.

С точки зрения диссертационного исследования представляют интерес выводы автора, которые связаны с тем, что материал по комбинаторике и теории вероятностей должен естественным образом укладываться в тематику основной школы, т.е. находиться в тесной взаимосвязи с программным содержанием курса, т.к. невозможно беспредельно наполнять курс математики основной школы новым содержанием.

Первая попытка включения раздела «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» была предпринята в учебнике математики для 5-го класса (Учебник «Математика 5 кл» / под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина). В этот учебник включены разделы «Перебор возможных вариантов», состоящий из тем «Комбинаторные задачи» и «Дерево возможных вариантов», раздел «Случайные события», включающий в себя темы: «Возможно или невозможно» и «Достоверные, возможные и невозможные случайные события». На изучение этих тем отводится соответственно 6 и 8 часов.

Анкетирование учителей математики г. Оренбурга, Орска, Новотроицка и Гая (108 учителей) показало, что эти разделы либо:
- вообще не изучаются - 30 учителей;
- изучаются факультативно - 56 учителей;
- рассматриваются обзорно - 22 учителя.

В процессе бесед учителя отмечали, что
- нет связи данных тем с другими разделами курса - 11 учителей;
- большинство учащихся не могут самостоятельно справиться с решением комбинаторных задач - 23 учителя;
- комбинаторные задачи не включаются в проверку знаний учащихся - 74 учителя.

Думается, что причины столь неадекватного отношения к вышеуказанным разделам заключаются в том, что:
а) пятиклассники не подготовлены к их восприятию и пониманию;
б) отсутствует методика обучения решению комбинаторных задач.

Хотя анализ учебников по математике для начальной школы показывает, что задания комбинаторного характера в них присутствуют, однако учителя включают их в процесс обучения либо как задачи повышенной трудности, либо как задачи «для смекалистых», либо используют их на факультативных занятиях или олимпиадах.

Другими словами, комбинаторные задачи выполняют в начальном курсе математики скорее контролирующую функцию, нежели обучающую и развивающую.

Хотя еще в 1973 году венгерский ученый Томас Варга доказал в своих экспериментальных исследованиях, что ученики начальных классов способны решать комбинаторные задачи. Более чем в ста школах Венгрии им был проведен эксперимент по обучению младших школьников начальным понятиям вероятности и комбинаторики. Результатом данного эксперимента стало убеждение автора в том, что идея обучения комбинаторике и теории вероятностей может быть реализована в начальной школе [28,29].

Таким образом:
1. Использование статистических методов в различных областях научного познания обусловило необходимость включения в курс школьной математики элементов комбинаторики и теории вероятностей.

2. Привнесение в школьный курс математики теоретико-множественной линии активизировало исследования российских ученых по разработке сквозной комбинаторно-вероятностной линии для средней школы.

3. Несмотря на большое количество исследований, связанных с разработкой раздела «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», предлагаемые экспериментальные программы использовались либо в классах с углубленным изучением математики, либо факультативно.

4. Новый этап исследований, связанный с возможностью включения комбинаторных и вероятностных задач в программу общеобразовательной школы как средства развития мышления учащихся относится к последнему десятилетию прошлого века.

5. На современном этапе сделана попытка включить элементы комбинаторики в курс математики V класса. Однако, методика обучения пятиклассников решению комбинаторных задач не разработана и учащиеся не подготовлены к пониманию и усвоению этих вопросов.

6. В современных учебниках математики для начальных классов наблюдается тенденция к увеличению комбинаторных задач. Однако методика обучения их решению не разработана, они не связаны с процессом усвоения программного материала и адресованы в основном «сильным ученикам».

Запрос на полный текст диссертации присылайте на адрес kulseg@mail.ru

Биология
Ветеринария
География
Искусствоведение
История
Культурология
Медицина
Педагогика
Политика
Психология
Сельхоз
Социология
Техника
Физ-мат
Филология
Философия
Химия
Экономика
Юриспруденция

Подписаться на новости библиотеки

Пишите нам
X